初中数学竞赛知识点(6)

全面的初中数学竞赛知识点讲解

1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的

解也叫做根。

例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解

分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。

2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，

讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=b； a

当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）

3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解

当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；

当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b

十、二元一次方程的整数解

1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

2， 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的

解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

1 11y1 y 10y1 y 2y (1) , =555

1 y k(k是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5解：x=

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2

∴原方程所有的整数解是

方法二，公式法： x 11k 2（k是整数） y 1 5k

x x0 x x0 bk设ax+by=c有整数解 则通解是 （x0,y0可用观察法） y y aky y00

3， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值

② 用观察法直接写出。

十一、二元一次方程组解的讨论