初中数学竞赛知识点(9)

全面的初中数学竞赛知识点讲解

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4

(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

－－－－－(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－ ＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n

－－－(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－ －ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1

类似地：

－－－－－（a－b）(an1+an2b+an3b2+ ＋abn2+bn1)=an－bn

4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时

an－bn能被a－b整除,

a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

十六、整数的一种分类

1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，

r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0 余数<除数)

例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1

（∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。）

2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数）

m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.

或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝

或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。

4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）

②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3）

③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）

以上等式可叙述为：

① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是