概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(9)

解：当x < 1或x > 1时，pX (x) = 0，

当 1 ≤ x ≤ 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

x2 1 x2

p(x,y)dy=∫

12dy= x2， ππ

2

x2, 1≤x≤1,

故pX(x)= π

其他. 0,

当y < 1或y > 1时，pY ( y) = 0，

当 1 ≤ y ≤ 1时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫

∞+∞

1 y2 y2

12dx= y2， ππ

2

y2, 1≤y≤1,

故pY(y)= π

其他. 0,

4． 设平面区域D由曲线y = 1/ x及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X, Y ) 在区域D上服

从均匀分布，试求X的边际密度函数．

e21e2

解：因平面区域D的面积为SD=∫dx=lnx1=2， 1x

则(X, Y ) 的联合密度函数为

1

,(x,y)∈D,

p(x,y)= 2

0,(x,y) D.

当x < 1或x > e 2时，pX (x) = 0，

当1 ≤ x ≤ e时，pX(x)=∫

2

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫

1x0

11

， dy=

22x

1

,1≤x≤e2,

故pX(x)= 2x

其他. 0,

5． 求以下给出的(X, Y ) 的联合密度函数的边际密度函数px (x) 和py ( y)：

e y,0<x<y;

（1）p1(x,y)=

0,其他.

52

(x+y),0<y<1 x2;

（2）p2(x,y)= 4

其他. 0, 1

,0<y<x<1;

（3）p3(x,y)= x

0,其他.

解：（1）当x ≤ 0时，pX (x) = 0，

当x > 0时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p1(x,y)dy=∫e ydy= e y

x

+∞+∞

x

=e x，

e x,x>0;

故pX(x)=

x0,0.≤

当y ≤ 0时，pY ( y) = 0， 当y > 0时，pY(y)=∫

+∞ ∞

p1(x,y)dx=∫e ydx=ye y，

y