概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(11)

和乙的命中次数，试求P{X ≤ Y }． 解：因X的全部可能取值为0, 1, 2，

2 2

×0.2×0.8=0.32，P{X = 2} = 0.2 = 0.04， 且P{X = 0} = 0.8 2 = 0.64，P{X=1}= 1

又因Y的全部可能取值为0, 1, 2，

2 2

且P{Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，P{Y=1}= 1 ×0.5×0.5=0.5，P{Y = 2} = 0.5 = 0.25，

则(X, Y ) 的联合概率分布

YX12p j

012

pi

0.080.160.080.320.010.020.010.040.25

0.5

0.25

故P{X ≤ Y } = 1 P{X > Y } = 1 P{X = 1, Y = 0} P{X = 2, Y = 0} P{X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X和Y相互独立，其联合分布列为

Y

y1y2y3

X1

x2

解：因p1 =a+

1/9b1/3

试求联合分布列中的a, b, c．

1114111

+c，p2 =+b+=b+，p 1=a+，p 2=+b，p 3=+c， 9939993

4 154

， 根据独立性，知p22=b=p2 p 2= b+ +b =b2+b+

99981

2 44

=0，即 b =0， 可得b b+

9819

2

2

故b=

2； 9

1114 1 6 1

=p2 p 1= b+ a+ = a+ ，可得a+=，

9699 9 9 9

再根据独立性，知p21=故a=

1

； 18

2

3

由正则性，知∑∑pij=a+

i=1j=1

41115

+c++b+=a+b+c+=1，可得a+b+c=，

99939

431

a b==． 9186

11．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X与Y的联合密度函数；

（2）P{Y ≤ X }；（3）P{X + Y ≤ 1}．

故c=