概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(18)

x+y x′ x=2z v, z=,z

可得 且J=2 有反函数 y=v,y′z v=y,

则pZ(z)=∫作曲线簇

+∞

+∞

∞

∞

′2 1xv

==2， ′01yv

p(2z v,v) 2dv=∫2p(2z v,v)dv，

x+y

=z，得z的分段点为0， 2

当z ≤ 0时，pZ (z) = 0，

2z0

当z > 0时，pZ(z)=∫2e 2zdv=4ze 2z， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为

4ze 2z,z>0,

pZ(z)=

≤0,z0.

（2）函数z = y x对任意固定的y关于x严格单调增加，增补变量v = y，

x′ z=y x, x=v z,z

可得 有反函数 且J=

y′z v=y, y=v,

则pZ(z)=∫

+∞ ∞

′ 1xv

== 1， ′yv0p(v z,v)dv，

+∞

作曲线簇y x = z，得z的分段点为0， 当z ≤ 0时，pZ(z)=∫

1

e 2v+zdv= e 2v+z02+∞1

当z > 0时，pZ(z)=∫e 2v+zdv= e 2v+z

z2

故Z = Y X的密度函数为

+∞

0+∞

=

z

1z

e， 21

=e z， 2

1z

2e,z≤0,

pZ(z)=

1 z

e,z>0. 2

7． 设X与Y的联合密度函数为

3x,0<x<1,0<y<x,

p(x,y)=

其他0,.

试求Z = X Y的密度函数．

解：方法一：分布函数法

作曲线簇x y = z，得z的分段点为0, 1， 当z < 0时，FZ (z) = 0，

当0 ≤ z < 1时，FZ(z)=∫dx∫3xdy+∫dx∫

zx1x

zx z

3xdy=∫3x2dx+∫3xzdx=x3

z1z0

z

+

32131

xz=z z3，

z222

当z ≥ 1时，FZ (z) = 1，

因分布函数FZ (z) 连续，有Z = X Y为连续随机变量， 故Z = X Y的密度函数为

3

(1 z2),0<z<1,

pZ(z)=FZ′(z)= 2

其他. 0,