概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(16)

3． 设随机变量X和Y的分布列分别为

X 101Y01

P1/41/21/4P1/21/2

已知P{XY = 0} = 1，试求Z = max{X, Y }的分布列．

解：因P{X1 X2 = 0} = 1，有P{X1 X2 ≠ 0} = 0，

即P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，可得 (X, Y ) 的联合分布列为

因P{ZP{Z故Z4．

（1）X（2）X解：（1）(X, 因P{Z = 0} = P{X = 0, Y = 0} = 0.25；P{Z = 1} = 1 P{Z = 0} = 0.75； 故Z的分布列为

Z01

P0.250.75

（2）因P{Z = k} = P{X = k, Y ≤ k} + P{X < k, Y = k} = P{X = k} P{Y ≤ k} + P{X < k} P{Y = k}

=(1 p)

k 1

p ∑(1 p)

j=1

k

j 1

p+∑(1 p)i 1p (1 p)k 1p

i=1

k 1

=(1 p)

k 1

1 (1 p)k1 (1 p)k 1p p+p (1 p)k 1p 1 (1 p)1 (1 p)

= (1 p) k 1 p [2 (1 p) k 1 (1 p) k ]

故Z = max{X, Y }的概率函数为pz (k) = (1 p) k 1 p [2 (1 p) k 1 (1 p) k ]，k = 1, 2, …．