概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(10)

ye y,

故pY(y)=

0,

y>0;

y≤0.

1 x2

（2）当x ≤ 1或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当 1 < x < 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p2(x,y)dy=∫

5

(1 x4), 1<x<1;

故pX(x)= 8

其他. 0,

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，

当0 < y < 1时，pY(y)=∫

+∞ ∞

121 x255252

=(1 x4)， (x+y)dy=(xy+y)08244

5

=(1+2y) y， 6

p(x,y)dx=∫

y

5152

(x+y)dx=(x3+xy)

y434

5

(1+2y) y,0<y<1;

故pY(y)= 6

其他. 0,

（3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当0 < x < 1时，pX(x)=∫p3(x,y)dy=∫

∞+∞

x

11

dy=x =1， xx

故pX(x)=

1,0<x<1;

0,.其他

1dx=lnxy=ln1 lny= lny， yx

1

+∞

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0， 当0 < y < 1时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫

∞

故pY(y)=

lny,0<y<1;

0,.其他

6． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

6,0<x2<y<x<1,p(x,y)=

0,其他.

试求边际密度函数px (x) 和py ( y)． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当0 < x < 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫26dy=6(x x2)，

x

x

6(x x2),0<x<1,

故pX(x)=

其他. 0,

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0， 当0 < y < 1时，pY(y)=∫故pY(y)=

+∞ ∞

y

p(x,y)dx=∫

y

6dx=6(y y)，

6(y y),0<y<1,

其他. 0,

7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．

x+y,0≤x≤1,0≤y≤1,

p(x,y)=

0,.其他

(0.5+x)(0.5+y),0≤x≤1,0≤y≤1,

g(x,y)=

0,.其他

证：当x < 0或x > 1时，pX (x) = 0，

当0 ≤ x ≤ 1时，pX(x)=∫则pX(x)=

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫(x+y)dy=(xy+

1

121

y)=x+0.5，

02

x+0.5,0≤x≤1,

0,.其他

111

p(x,y)dx=∫(x+y)dx=(x2+xy)=y+0.5，

002

当y < 0或y > 1时，pY ( y) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，pY(y)=∫则pY(y)=

+∞ ∞

y+0.5,0≤y≤1,

其他. 0,

1

并且当x < 0或x > 1时，gX (x) = 0，

当0 ≤ x ≤ 1时，gX(x)=∫g(x,y)dy=∫(0.5+x)(0.5+y)dy=(0.5+x)

∞+∞

1

(0.5+y)22

10

=x+0.5，

x+0.5,0≤x≤1,

则gX(x)=

0,.其他

当y < 0或y > 1时，gY ( y) = 0，

当0 ≤ y ≤ 1时，gY(y)=∫g(x,y)dx=∫(0.5+x)(0.5+y)dx=

∞+∞

1

11

(0.5+x)2 (0.5+y)=y+0.5，

02

则gY(y)=

y+0.5,0≤y≤1,

0,.其他

故它们有相同的边际密度函数．

8． 设随机变量X和Y独立同分布，且

P{X = 1} = P{Y = 1} = P{X = 1} = P{Y = 1} = 1/2，

试求P{X = Y }．

解：因X和Y独立同分布，且P{X = 1} = P{Y = 1} = P{X = 1} = P{Y = 1} = 1/2，

则(X, Y ) 的联合概率分布

YX 11p j

11412

412

pi 2 1故P{X = Y } = P{X = 1, Y = 1} + P{X = 1, Y = 1} = 1/2．

9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲