概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(5)

（2）求P{X > 0.5}和P{Y < 0.5}． 解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

1

x

1

∫0

1

dx∫2kdy=∫dx kyx2

x

x

x2x3 k2

==1， =∫k(x x)dx=k 203 06

11

xx

2

故k = 6；

（2）P{X>0.5}=∫dx∫26dy=∫dx 6y

0.5

x

0.5

1

x

=∫(6x 6x2)dx

0.5

1

=(3x 2x)

0.5

23

10.5

=0.5；

y

P{Y<0.5}=∫dy∫

y

6dx=∫dy 6x

0.5

yy

=∫(6y 6y)dy

0.5

=(4y 3y2)

32

0.50

=2

3． 4

10．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

6(1 y),0<x<y<1,

p(x,y)=

其他0,.

（1）求P{X > 0.5, Y > 0.5}；

（2）求P{X < 0.5}和P{Y < 0.5}； （3）求P{X + Y < 1}．

1

1

1

1

1

0.5

x

10.5

解：（1）P{X>0.5,Y>0.5}=∫dx∫6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)2]=∫3(1 x)2dx= (1 x)3

0.5

x

0.5

=

1

； 8

（2）P{X<0.5}=∫dx∫6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)2] xx00

0.50.57=∫3(1 x)2dx= (1 x)3=； 0080.510.51

P

{Y<0.5}=∫dx∫6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)]

x

0.50.50.5

2

0.5x

=

∫

0.5

1 3

32 3 + xdx= x x=； 3(1)(1) 4 4 2 0

0.5

1 x

x

0.

5

（3）P{X+Y<1}=∫dx∫

0.5

2

6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)2]

2

3

3

0.5

0.51 xx

3．

004

11．设随机变量Y服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量Xk如下：

=∫[ 3x+3(1 x)]dx=[ x (1 x)]

=

0,Y≤k,Xk= k=1,2．

1,.Y>k

求X1和X2的联合分布列．

解：因Y的密度函数为

e y,

pY(y)=

0,

y≥0,

y<0.