概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(3)

故k=

1； 8

3

1

3

1y2 11

6y xy （2）P{X<1,Y<3}=∫dx∫(6 x y)dy=∫dx 00288 2 2

1 71 73x2 =； x=∫ x dx= 0828228 0

1

1

（3）P{X<1.5}=∫dx∫

1.54

2

1.5y2 11

(6 x y)dy=∫dx 6y xy 088 2 2

4

=∫

1.5

1.51127

； (6 2x)dx=(6x x2)=

08832

2

4 x

2y2 11

(6 x y)dy=∫dx 6y xy 088 2 2

3

2

4 x

（4）P{X+Y<4}=∫dx∫

2

2

=∫

1 1 2x x 2

6462=． xdxxx= + + 8 2 8 6 03

2

6． 设随机变量(X, Y)的联合密度函数为

ke (3x+4y),x>0,y>0,

p(x,y)=

0,其他.

试求

（1）常数k；

（2）(X, Y ) 的联合分布函数F (x, y)； （3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

+∞0

dx k

∫

+∞

dx∫

+∞

ke (3x+4y)dy=∫

故k = 12；

（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x, y) = P ( ) = 0，

当x > 0且y > 0时，

F(x,y)=∫du∫12e (3u+4v)dv=∫du [ 3e (3u+4v)]=∫3e 3u(1 e 4y)du

xyxyx

= e 3u(1 e 4y)=(1 e 3x)(1 e 4y)

x

故(X, Y)的联合分布函数为

(1 e 3x)(1 e 4y),x>0,y>0,

F(x,y)=

0,其他.

（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P{X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 e 3) (1 e 8)．

7． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为