概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(4)

4xy,0<x<1,0<y<1,

p(x,y)=

其他0,.

试求

（1）P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P{X = Y }； （3）P{X < Y }；

（4）(X, Y ) 的联合分布函数．

解：（1）P{0<X<0.5,0.25<Y<1}=∫dx∫

00.5

10.25

0.5

10.25

4xydy=∫dx 2xy2

0.50

=∫

（2）P{X = Y } = 0；

1

1

0.5

1515xdx=x2816

1

=

15

； 64

1

（3）P{X<Y}=∫dx∫4xydy=∫dx 2xy2

x

1x

=∫(2x 2x3)dx

1 1

= x2 x4 =；

2 02

（4）当x < 0或y < 0时，F (x, y) = P ( ) = 0，

当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，

1

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

xyxy0

=∫2uy2du=u2y2

0x

x0

xx0

=x2y2；

当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

x1x10

=∫2udu=u2

01

=x2；

当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

1y1y0

=∫2uy2du=u2y2

10

=y2；

当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x, y) = P ( ) = 1， 故(X, Y ) 的联合分布函数为

0, 22xy,

F(x,y)= x2,

y2, 1,

x<0或y<0,

0≤x<1,0≤y<1,

0≤x<1,y≥1,

x≥1,0≤y<1,x≥1,y≥1.

8． 设二维随机变量(X, Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P{X 2

2解：设D表示该正方形区域，面积SD = 4，G表示单位圆区域，面积SG = π，

Sπ

故P{X2+Y2≤1}=G=．

SD49． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

k,0<x2<y<x<1,

p(x,y)=

0,其他.

（1）试求常数k；