概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(6)

且X1和X2的全部可能取值为0, 1，

则P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1,Y≤2}=P{Y≤1}=∫e ydy= e y

01

10

=1 e 1，

P{X1 = 0, X2 = 1} = P{Y ≤ 1, Y > 2} = P ( ) = 0，

P{X1=1,X2=0}=P{Y>1,Y≤2}=P{1<Y≤2}=∫e ydy= e y

1

221

=e 1 e 2，

P{X1=1,X2=1}=P{Y>1,Y>2}=P{Y>2}=∫e ydy= e y

2

+∞+∞

2

=e 2，

故X1和X2的联合分布列为

X2

X1

01

01 e

e 1 e 2

10 e 2

12

．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

2xy x+,0<x<1,0<y<2,

p(x,y)=

3

其他. 0,

求P{X + Y ≥ 1}．

1 2xy2 2xy xy+ 解：P{X+Y≥1}=∫dx∫ x+ dy=∫0dx 01 x36 1 x

1

2

2

45 454 65 1 1

=∫ x+x2+x3 dx= x2+x3+x =． 0236 924 072 4

1

1

13．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

e y,0<x<y,

p(x,y)=

0,其他.

试求P{X + Y ≤ 1}． 解：P{X+Y≤1}=∫dx∫

00.5

1 xx

e ydy=∫dx ( e y)

0.50

0.51 xx

=∫( ex 1+e x)dx

0.5

=( ex 1 e x)=1+e 1 2e 0.5．

14．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

1/2,0<x<1,0<y<2,

p(x,y)=

其他. 0,

求X与Y中至少有一个小于0.5的概率．

解：P{min{X,Y}<0.5}=1 P{X≥0.5,Y≥0.5}=1 ∫dx∫

1

2

13135

dy=1 ∫dx=1 =．

0.50.520.5488

15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率． 解：设X、Y分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X, Y ) 的联合密度函数为

1,0<x<1,0<y<1,

p(x,y)=

0,其他.