概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(17)

5． 设X和Y为两个随机变量，且

P{X≥0,Y≥0}=

试求P{max{X, Y } ≥ 0}．

34，P{X≥0}=P{Y≥0}=， 77

34

，P(A)=P(B)=， 774435

故P{max{X,Y}≥0}=P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)=+ =．

7777

6． 设X与Y的联合密度函数为

解：设A表示事件“X ≥ 0”，B表示事件“Y ≥ 0”，有P(AB)=

e (x+y),x>0,y>0,

p(x,y)=

其他. 0,

试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y X．

解：方法一：分布函数法

x+y

（1）作曲线簇=z，得z的分段点为0，

2

当z ≤ 0时，FZ (z) = 0，

当z > 0时，FZ(z)=∫dx∫

02z02z

2z x0

e (x+y)dy=∫dx [ e (x+y)]

2z0

2z2z x0

=∫( e 2z+e x)dx=( e 2zx e x)

=1 (2z+1)e 2z，

因分布函数FZ (z) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为

4ze 2z,z>0,

pZ(z)=FZ′(z)=

z≤0. 0,

（2）作曲线簇y x = z，得z的分段点为0，

当z ≤ 0时，FZ(z)=∫

+∞ z

x+z

+∞

x+z0

dx∫

e

(x+y)dy=∫dx [ e (x+y)]

z

=∫[ e (2x+z) x

z

+∞

1 1 1

= e (2x+z) e x = ez ez =ez，

2 2 2 z

当z > 0时，FZ(z)=∫

+∞0

+∞

dx∫

x+z

e (x+y)dy=∫dx [ e (x+y)]

+∞x+z0

+∞

=∫[ e (2x+z)+e x]dx

1 1 1

= e (2x+z) e x = e z 1 =1 e z，

2 2 0 2

因分布函数FZ (z)连续，有Z = Y X为连续随机变量，

故Z = Y X的密度函数为

+∞

1z

2e,z≤0,

pZ(z)=FZ′(z)=

1 z

e,z>0. 2

方法二：增补变量法 （1）函数z=

x+y

对任意固定的y关于x严格单调增加，增补变量v = y， 2