概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(8)

习题3.2

1． 设二维离散随机变量(X, Y ) 的可能值为

(0, 0)，( 1, 1)，( 1, 2)，(1, 0)，

且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X与Y各自的边际分布列． 解：因X的全部可能值为 1, 0, 1，且

P{X= 1}=

故X的边际分布列为

11515

， +=， P{X=0}=， P{X=1}=

31212612

P

126 12

因Y的全部可能值为0, 1, 2，且

15711

， +=， P{X=1}=， P{X=2}=

61212312

故Y的边际分布列为

P{X=0}=

P

12 312

2． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y},x>0,y>0,

F(x,y)=

0,其他.

试求X与Y各自的边际分布函数．

解：当x ≤ 0时，F (x, y) = 0，有FX (x) = F (x, + ∞) = 0，

1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y},

当x > 0时，F(x,y)=

0,

y→+∞

y>0,

有 y≤0.

FX(x)=F(x,+∞)=lim[1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y}]=1 e λ1x，

1 e λ1x,x>0,

故FX(x)=

x≤0. 0,

当y ≤ 0时，F (x, y) = 0，有FY ( y) = F (+ ∞, y) = 0，

1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y},x>0,

有 当y > 0时，F(x,y)=

x≤0. 0,

FY(y)=F(+∞,y)=lim[1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y}]=1 e λ2y，

x→+∞

1 e λ2y,

故FY(y)=

0,

y>0,

y≤0.

3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：

1

,x2+y2≤1,

p(x,y)= π

0,其他.