概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(19)

方法二：增补变量法

函数z = x y对任意固定的y关于x严格单调增加，增补变量v = y，

x′ z=x y, x=z+v,z

可得 有反函数 且J=

y′z v=y, y=v,

则pZ(z)=∫

+∞ ∞

′1xv

==1， ′0yv

p(z+v,v)dv，

1 z0

作曲线簇x y = z，得z的分段点为0, 1，

当z ≤ 0或z ≥ 1时，pZ (z) = 0， 当0 < z < 1时，pZ(z)=∫

1 z0

3

3(z+v)dv=(z+v)2

2

=

3

(1 z2)， 2

1

故Z = X Y的密度函数为

3

(1 z2),0<z<1,

pZ(z)= 2

其他. 0,

8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为

te t,t>0,p1(t)=

t≤0. 0,

设各周的需要量是相互独立的，试求

（1）两周需要量的密度函数p2 (x)；（2）三周需要量的密度函数p3 (x)． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量

设Ti表示“该种商品第i周的需要量”，因Ti的密度函数为

12 1 t

te,t>0,

p1(t)= Γ(2)

t≤0. 0,

可知Ti服从伽玛分布Ga (2, 1)，

（1）两周需要量为T1 + T2，因T1与T2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，

故T1 + T2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 14 1 x1

xe,x>0, x3e x,x>0,

p2(x)= Γ(4)= 6

x≤0.x≤0. 0, 0,

（2）三周需要量为T1 + T2 + T3，因T1, T2, T3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，

故T1 + T2 + T3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 16 1 x15 x

xe,x>0, xe,x>0,

p3(x)= Γ(6)= 120

x≤0.x≤0. 0, 0,

方法二：分布函数法

（1）两周需要量为X2 = T1 + T2，作曲线簇t1 + t2 = x，得x的分段点为0，

当x ≤ 0时，F2 (x) = 0，

当x > 0时，F2(x)=∫dt1∫

x

x t1

t1e t1 t2e t2dt2=∫dt1 t1e t1( t2e t2 e t2)

x

x t10

=∫[(t12 xt1 t1)e x+t1e t1]dt1

x

1 11

= t13 t12x t12 e x t1e t1 e t1

22 3 0

x

1