概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(14)

Sa

故所求概率为P{X+Y<=G=

3SD

16．设二维随机变量(X, Y ) 服从区域

1 a

× 2 3 a 2

2

2

=

2． 9

D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

上的均匀分布，试证X与Y相互独立． 证：因(X, Y ) 的联合密度函数为

1

,a≤x≤b,c≤y≤d;

p(x,y)= (b a)(d c)

其他. 0,

当x < a或x > b时，pX (x) = 0，

+∞d11

， 当a ≤ x ≤ b时，pX(x)=∫p(x,y)dy=∫dy=

∞c(b a)(d c)b a 1

,a≤x≤b;

则pX(x)= b a

其他. 0,

当y < c或y > d时，pY ( y) = 0，

当c ≤ y ≤ d时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫

∞+∞

b

a

11

， dx=

(b a)(d c)d c

1

,c≤y≤d;

则pY(y)= d c

其他. 0,

因px (x) py ( y) = p (x, y)， 故X与Y相互独立．

17．设X1, X2, …, Xn是独立同分布的正值随机变量．证明

X1++Xk kE X+L+X =n,k≤n．

n 1

证：因X1, X2, …, Xn是独立同分布的正值随机变量，

则由对称性知

Xi

X1+L+Xn

(i=1,2,L,n)同分布，且满足0<

Xi

<1，

X1+L+Xn

XiX1X2Xn

存在，且可得E EEE===L X+L+X X+L+X X+L+X X+L+X ， n n n n 1 1 1 1 X1++Xn XnX1X2 因E EEE+++=L X+L+X X+L+X X+L+X X+L+X =1， n n n n 1 1 1 1 1XnX1X2 则E EE===L X+L+X X+L+X X+L+X =n， n n n 1 1 1 X1++Xk

故E X+L+X

n 1

k =n,k≤n．