概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(12)

解：（1）因X与Y相互独立，且边际密度函数分别为

e y, 1,0<x<1,

pY(y)= pX(x)=

0,.其他 0,

故X与Y的联合密度函数为

y≥0,y<0.

e y,0<x<1,y≥0,

p(x,y)=pX(x)pY(y)=

0,其他.

1

x

1

（2）P{Y≤X}=∫dx∫e ydy=∫dx ( e y)=∫(1 e x)dx=(x+e x)=1+e 1 1=e 1；

1x1

（3）P{X+Y≤1}=∫dx∫

11 x

e ydy=∫dx ( e y)

11 x0

=∫(1 ex 1)dx=(x ex 1)=e 1．

11

12．设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

3x,0<x<1,0<y<x,

p(x,y)=

0,.其他

试求（1）边际密度函数px (x) 和py ( y)；（2）X与Y是否独立．

解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当0 < x < 1时，pX(x)=∫p(x,y)dy=∫3xdy=3x2，

∞+∞

x

3x2,0<x<1,

故pX(x)=

其他0,.

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0， 当0 < y < 1时，pY(y)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dx=∫3xdx=

y

1

32

x2

1y

=

3

(1 y2)， 2

3

(1 y2),0<y<1,

故pY(y)= 2

其他. 0,

92

x(1 y2),0<x<1,0<y<1,

（2）因pX(x)pY(y)= 2 即px (x) py ( y) ≠ p (x, y)，

其他. 0,

故X与Y不独立．

13．设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

1,|x|<y,0<y<1,

p(x,y)=

0,.其他

试求（1）边际密度函数px (x) 和py ( y)；（2）X与Y是否独立．

解：（1）当x ≤ 1或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当 1 < x < 0时，pX(x)=∫当0 ≤ x < 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫1dy=1+x，

x

1

+∞

∞

p(x,y)dy=∫1dy=1 x，

x

1

1+x, 1<x<0,

故pX(x)= 1 x,0≤x<1,

0,其他.