概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题(13)

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，

当0 < y < 1时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫1dx=2y，

∞

y

+∞

y

2y,0<y<1,

故pY(y)=

0,.其他

2y(1+x), 1<x<0,0<y<1,

（2）因pX(x)pY(y)= 2y(1 x),0≤x<1,0<y<1, 即px (x) py ( y) ≠ p (x, y)，

0,其他.

故X与Y不独立．

14．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数如下，试问X与Y是否相互独立？

xe (x+y),x>0,y>0;

（1）p(x,y)=

0,其他.

（2）p(x,y)=

1

, ∞<x,y<+∞；

π(1+x)(1+y)

2,0<x<y<1;

（3）p(x,y)=

0,.其他

24xy,0<x<1,0<y<1,0<x+y<1;

（4）p(x,y)=

0,.其他 12xy(1 x),0<x<1,0<y<1;

（5）p(x,y)=

0,.其他

212

xy,x2<y<1;

（6）p(x,y)= 4

其他. 0,

解：（1）因xe (x + y) = xe x e y可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X与Y相互独立；

111

可分离变量， ∞ < x, y < +∞是广义矩形区域， （2）因2=

π(1+x2)(1+y2)π(1+x2)π(1+y2)故X与Y相互独立；

（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X与Y不独立；

（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X与Y不独立；

（5）因12xy(1 x) = 12x(1 x) y可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X与Y相互独立； （6）因x2 < y < 1不是矩形区域，故X与Y不独立．

15．在长为a的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．

解：设X和Y分别表示这两个点与线段中点的距离，有X和Y相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，

则(X, Y ) 的联合密度函数为 aaa 4 ,0<x<,0<y<,a

p(x,y)= a222

其他. 0,