2015数学基础教程线代部分答案及详解(9)

（C）A2 A+E及A2+A+E均可逆； （D）A不可逆，且必有A=0. 【解】应选（C）。

∵A3=0 ∴A=0 ∴A=0，A不可逆，

3

2

又∵E=E3=E3+A3 A3=(E A)(A2 A+E)， ∴E+A与A2 A+E均可逆。

同理：∵E=E3=E3 A3=(E A)(A2+A+E)，

∴E-A与A2+A+E均可逆。

因此，选（C）。同时，（D）不成立。例如：

001 010

2

令A= 001 ，则有A= 000 ≠0，但A3=0.

000 000

100

【例2.6】设矩阵A、B满足A BA=2BA 8E，其中A= 0 20 ，E为单位矩阵，A 为A

001

的伴随矩阵，则B=__________。

【解】∵A BA=2BA 8E，右乘A 1，∴A B=2B 8A 1,

左乘A，得AA B=2AB 8AA 1.∵AA =AE，∴AB=2AB 8E. 而A= 2 即 2B=2AB 8E，2AB+2B=8E， ∴(2A+2E)B=8E，(A+E)B=4E.

2

=4 1 2

1

∴B=4(A+E) 1

1

2=4

2

1= 4 .

1 2

2

【例2.7】