2015数学基础教程线代部分答案及详解(14)

（D）r>s时，向量组I必线性相关。

【解】本题是一道将已知定理，性质改造成的选择题。由上述关系2知，直接选（D）.如果

定理记不清楚，也可以通过构造适当的反例用排除法找到正确选项。

0 1 0 ==ββ, , 例如，令α1= 2 0 1 0 1 ，则α1=0 β1+0 β2，但β1,β2 线性无关，排

0 1 1

除（A）；再令α1= ==αβ, , 1 0 1 0 0 ，则α1,α2可由β1线性表示，但β1线性无

关，排除（B）；

1 1 0 ==ββα1可由β1,β2线性表示，但α1线性无关，排除（C）, , 再令α1= 12 0 0 1 ，

故正确选项为（D）。

【例3.9】证明：当α1,α2,α3线性相关，且α1与α2的分量不成比例时，向量α3可以由α1,α2

线性表示.

【解】因α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关，而α1,α2,α3线性相关，故向量α3

可以由α1,α2线性表示且表示法唯一.

【例3.10】向量α1,α2, ,αs(s≥2)线性相关的充分必要条件是（ ） (A) α1,α2, ,αs中至少有一个是零向量.

(B) α1,α2, ,αs中至少有两个向量成比例.

(C) α1,α2, ,αs中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示. (D) α1,α2, ,αs中任一部分组线性相关. 【解】选项(C)正确.

【例3.11】已知n维向量组α1,α2, ,αm(m>2)线性无关，则（ ） (A) 对任意一组数k1,k2, ,km，都有k1α1+k2α2+ +kmαm=0. (B)m<n.

(C) α1,α2, ,αm中少于m个向量构成的向量组均线性相关. (D α1,α2, ,αm中任意两个向量均线性无关. 【解】选项(D正确.

【例3.12】设向量组（Ⅰ）：α1=(a11,a12,a13)，α2=(a21,a22,a23)，α3=(a31,a32,a33)；向量组（Ⅱ）：β1=(a11,a12,a13,a14)，β2=(a21,a22,a23,a24)，β3=(a31,a32,a33,a34)， 则必有（ ）

(A) 组（Ⅰ）相关 组（Ⅱ）相关 (B) 组（Ⅱ）相关 组（Ⅰ）无关

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