2015数学基础教程线代部分答案及详解(11)

则C的伴随矩阵C =（ ）。

AA （A）

O AB

（C）

O

O BB O BA

AOO

B

BB

（B）

O BA

（D）

O

O AA O AB

【解】∵CC =CE=

E，∴可由上式逐一检验，符合者即为正确答案。现检查（D）。

O = BAA

AB O

BA AO ∵CC= O OB

EO

=AB OE ABE O

=AB E ，∴选（D）.

但这种方法太烦琐，因此作为选择题，可以采取下列简便方法：即加强条件，令A、B均

为

可

逆

矩

阵

，

则

O

A =AA 1

，

O .

AB

B =BB 1

，

C=CC

1

A 1

=AB O

BAA 1O = OB 1 BA

= 1 ABB O

【例2.9】设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行与第j行对调后得到的矩阵记为B，证明B

可逆，并求AB 1。

【解】∵A可逆， ∴A≠0，∴B= A≠0，B可逆。

若用Eij表示将单位矩阵E的第i行与j行对调后得到的初等矩阵，则有B=EijA，而

1

Eij=Eij，

∴AB 1=A(EijA) 1=A A 1(Eij) 1=(Eij) 1=Eij.

a11

a

【例2.10】设A= 21

a 31 a 41

0 0P1=

0 1

01000010

a12a22a32a42a13a23a33a43a14 a14

a24 a24

，B= aa34 34 a4a44 0100

a13a23a33a43a12a22a32a42a11 a21

a31 a41

1 10

0 00，P=2 010 000 0

0

，其中A可逆，则B 1等于（ ） 0 1

（A）A 1P1P2 （B）P1A 1P2 （C）P1P2A 1（D）P2A 1P1 【解】应选（C）。将A、B两矩阵进行对比。