2015数学基础教程线代部分答案及详解(13)

3v1+2v2 v3.

【解】3v1+2v2 v3=(0,1,【例3.3】已知

2).

T

T

T

β=(1,2,t)不能由α1=(2,1,1)，α2=( 1,2,7)，

T

α3=(1, 1, 4)线性表示，求t的值.

【解】t≠5. 【例3.4】设向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则在下列向量组中，线性无关的向量组是（ ）。

（A）α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1 （B）α1+α2，α2+α3，α3+α1

（C）α1 α2，α2 α3，α3 α4，α4 α1 （D）α1 α2，α2 α3，α3 α1

【解】由观察法可知： 对于（A），(α1+α2) (α2+α3)+(α3+α4) (α4+α1)=0，线性相关； 对于（C），(α1 α2)+(α2 α3)+(α3 α4)+(α4 α1)=0，线性相关； 对于（D），(α1 α2)+(α2 α3)+(α3 α1)=0，线性相关。 ∴由排除法可知应选（B）。 【例3.5】已知向量组α1=(1,

T

0,5,2)，α2=(2,1,2, 1)，

T

TT

α3=(1, 1,a, 2)，α4=( 2,1, 4,1)线性相关，则a=________.

【解】2/5.

【例3.6】已知向量组α1=(1,

T

3,6,2)，α2=(3, 2,3, 4)，

TT

α3=( 1,1,t,3)线性无关，则必有（ ）

（A）t=2（B）t=1（C）t= 2（D）t为任何实数

【解】选项(D)正确. 【例3.7】已知向量组α1=(1,

T

0,2,3)，α2=(1,1,3,a)，

T

TT

α3=(1, 1,1,1)，α4=(1,2,6,7).问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相

关，并求它的一个最大线性无关组.

【解】当a=5时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，它的一个最大线性无关组是α1,α2,α4.

【例3.8】设向量组I：α1,α2, ,αr可由向量组Ⅱ：β1,β2, ,βs线性表示，则（ ）。

（A）当r<s时，向量组Ⅱ必线性相关；

（B）当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关； （C）当r<s时，向量组I必线性相关；