2015数学基础教程线代部分答案及详解(4)

011 112000Dn=10300

00 01000n

1

【解】Dn=2 3 4 n1

1

121000

121000

11

n3

000100 0 0001

11 3n000111

= (++ +)n! 10023n

0 0001

111 23n

(!)=n0

a1

【例10】四阶行列式

00b4

0a2b30

0b2a30

b1

的值等于( ) 0a4

（A）a1a2a3a4 b1b2b3b4 （B）a1a2a3a4+b1b2b3b4

（C）(a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)（D）(a2a3 b2b3)(a1a4 b1b4) 【解】应选D。解法一： 原式=

a1b4

b1a4

×( 1)

1+4+1+4

a2b3b2

=(a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3). a3

解法二：（特殊值法）令b1=0,可得(原式)D=a1a4(a2a3 b2b3).经比较，选项（A），（B）和（C）全错误，只有（D）正确。

解法三：也可以将行列式按第一行展开。但此法计算量略大些，请读者自己完成。 【例11】设多项式

a11+x

p(x)=

a12+xa13+xa14+x

a21+xa22+xa23+xa24+x

a31+xa32+xa33+xa34+xa41+xa42+xa43+xa44+x

则p(x)的次数至多是（ ）。

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4