2015数学基础教程线代部分答案及详解(8)

（1）常数a≠0 【例2.3】设n阶可逆矩阵A中每行元素之和均为常数a。证明：

（2）A 1的每行元素之和均为a 1。

a11

【解】设A= a21

a n1

a12a22an2

a1n

a2n ∵ai1+ai2+ +ain=a， ann

1 a11+a12+ +a1n a

1 a21+a22+ +a2n a ∴A = = .

1 a+a+ +a a

n2nn n1

1 0 1 0

（1）反证之，假设a=0，则A = ，由已知A可逆.

1 0

1 0 0 1 0 0

∴ =A 1 = 矛盾∴a≠0.

1 0 0 1 a 1 1 1 1 1

111 1 a 1 1 1

（2）又∵A = =a ，∴ =aA 1 即A 1 = .

a 1 a 1 1 1 1 1

∴A 1的每行元素之和均为a 1

【例2.4】 设A、B均为n阶方阵，且AB=A B。

（2）AB=BA. 证明：（1）(A+E) 1=E B；

【解】（1）∵(A+E)(E B)=A AB+E B

=A (A B)+E B=E

∴由定义，(A+E) 1=E B .

（2）由（1）知

E=(A+E) 1 (A+E)=(E B) (A+E)=A+E BA B

=(A B) BA+E=AB BA+E， 于是，两边消去E得AB=BA。

【例2.5】设A是n阶方阵，且A3=0，则（ ） （A）A不可逆，且E A不可逆； （B）A可逆，但E+A不可逆；