2015数学基础教程线代部分答案及详解(16)

β=k1α1+k2α2+ +km 1αm 1+kmαm……（1）

又由于β不能由α1,α2, ,αm 1线性表示，故有km≠0。从而，有αm=

1

(β k1α1 k2α2 km 1αm 1)，即αm可由（Ⅱ）线性表示。因此，选项（A），km

（D）应该排除。再判别αm能否由向量组（I）线性表示。若αm能由向量组（I）线性表示，则有

αm=l1α1+l2α2+ +lm 1αm 1……（2） 将（2）式代入（1）式有

β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+ +(km 1+kmlm 1)αm 1.

这表示β可由向量组（I）线性表示，与已知条件“β不能由（I）线性表示”矛盾。

。因此，本题应该选（B）。 所以，αm不能由向量组（I）线性表示，应该排除（C）

第四章 线性方程组

x1+x2+x3=0

【例4.1】已知线性方程组 ax1+bx2+cx3=0

a2x+b2x+c2x=0

123

（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？

（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。 【解】首先计算系数矩阵及其行列式 1 A= a

a2

1

1 1

c ，A=ac2 a2

1

1

bb2bb2c，这个行列式恰好为范德蒙行列式，所以c2

A=(b a)(c a)(c b)。

（1）当A=(a b)(b c)(c a)≠0时，即a≠b,b≠c,c≠a时，A≠0，由克莱姆法则知方程组仅有零解。

（2）当A=(a b)(b c)(c a)=0时，方程组有无穷多组解，为求出基础解系需按照a与b，b与c，c与a之间相等或不相等的关系进行讨论，共有四种情况，原方程组都有无穷

多解。

（i）当a=b≠c时，原方程组化为

x1+x2+x3=0

x1+x2+x3=0

++= 化为 0axaxcx 2 123

=cacx03 a2x+a2x+c2x=0

23 1

()

x+x+x3=0

当c≠0时，即 12

x3=0