2015数学基础教程线代部分答案及详解(7)

= =1,α2, ,αn+2,α3, ,αn+α1 =A+( 1)

n 1

1,α2, α3=

A+( 1)n 1A

2a若当n为奇数

=1+( 1)n 1a= .

O若当n为偶数

[]

【例17】若A是n阶方阵，且AAT=E，A= 1，证明A+E=0 . 【解】∵A+E=AT+E，又AAT=E，A= 1，

∴A+E=A+AAT=AAT+E=A (AT+E)T=A A+E= A+E ∴A+E=0.

第二章 矩阵

11

【例2.1】已知α=(1,2,3)，β=(1,,，设A=αTβ，则An=

23

1

11

【解】∵A=αβ= 2 (1,,，

3 23

T

11

∴An=ln 1A，其中l=1 1+2 +3 =3.

23

1

1 11nn 1n 1n 1 2于是 A=3A=3 2 (1,,=3

23 3

3

12132

1 3 2 . 3 1

【例2.2】设A为n阶非零矩阵，证明当A =AT时，A可逆。

A11 A

【解】由于A = 12

A 1n

A21A22 A2n

An1 a11

An2 a12

= Ann a1n

a21a22 a2n

an1

an2

=AT ann

∴aij=Aij。已知A是n阶非零矩阵，不妨设a11≠0，则

222

A=a11A11+a12A12+ +a1nA1n=a11+a12+ +a1n>0，∴A可逆。