2015数学基础教程线代部分答案及详解(15)

(C) 组（Ⅰ）相关 组（Ⅱ）无关 (D) 组（Ⅰ）无关 组（Ⅱ）无关 【解】选项(D)正确.

【例3.13】设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0， Aα1=α1, Aα2=α1+α2, Aα3=α2+α3。证明：α1,α2,α3线性无关。 【解】∵Aα1=α1 ∴Aα1 α1=0，(A E)α1=0……（1）

又∵Aα2=α1+α2, Aα2 α2=α1，∴(A E)α2=α1 ……（2） 又∵Aα3=α2+α3, Aα3 α3=α2，∴(A E)α3=α2 ……（3） 令k1α1+k2α2+k3α3=0，用矩阵A-E乘上式两边得

k1(A E)α1+k2(A E)α2+k3(A E)α3=0 则由（1），（2），（3）得 k1 0+k2α1+k3α2=0，即k2α1+k3α2=0. 再用A-E左乘上式，得 k2(A E)α1+k3(A E)α2=0. 又由（1），（2） 得 k2 0+k3 α1=0，即k3 α1=0. 由已知α1≠0，∴k3=0，k1α1+k2α2=0.两端同乘以A-E得， k1(A E)α1+k2(A E)α2=0，即k2 0+k2α1=0 ，∴k2α1=0. 而α1≠0，∴k2=0，k1α1+0 α2+0 α3=0，而α1≠0∴k2=0， 即证k1=k2=k3=0 ， ∴α1,α2,α3线性无关。

但不能由α1,α2, ,αr 1线性表示。 【例3.14】设向量β可由向量组α1,α2, ,αr线性表示，

证明：（1）αr不能由α1,α2, ,αr 1线性表示。

（2）αr能由α1,α2, ,αr 1,β线性表示。

【解】（1）反证之。假设αr可由α1,α2, ,αr 1线性表示，设αr=k1α1+k2α2+ +kr 1αr 1，又由已知β可由α1,α2, ,αr线性表示，令β=l1α2+l2α2+ +lrαr，代入得

β=l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1+k1α2+k2α2+ +kr 1αr 1

=(l1+k1lr)α1+(l2+k2lr)α2+ +(lr 1+kr 1lr)αr 1 即得β可由α1,α2, ,αr 1线性表示，这与已知β不能由α1,α2, ,αr 1线性表示矛盾。∴所作假设是错误的,αr不能由α1,α2, ,αr 1线性表示。 （2） ∵β可由α1,α2, ,αr线性表示,

∴令β=l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1+lrαr

又∵β不能由α1,α2, ,αr 1线性表示，∴lr≠0。因为若lr=0，则β=l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1,矛盾。既然lr≠0，则

αr=

1

(l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1 β),∴αr可由α1,α2, ,αr 1,β线性表示。 lr

：【例3.15】设向量β可由向量组α1,α2, ,αm线性表示，但不能由向量组（I）

α1,α2, ,αm 1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1,α2, ,αm 1,β，则（ ） （A）αm不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。

（B）αm不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。 （C）αm可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。 （D）αm可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。

【解】应选（B）。

本题就是要判定向量αm能否由向量组（I），向量组（Ⅱ）线性表示。下面先判定αm能否由向量组（Ⅱ）线性表示。因为β可由向量组α1,α2, ,αm线性表示，则有