2015数学基础教程线代部分答案及详解(6)

A11,A12,A13,A14前面的系数1,1,1,1，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个

12

新的4阶行列式，即 A11+A12+A13+A14=

32

对应元素成比例）. 【例14】已知5阶行列式

a11a12a13222

D5=a31a32a33

111a51a52a53

1342141211

=0（由于第一行和第四行22

a141a342a54a151

a35=27，求：A41+A42+A43+A44+A45. 2a55

【解】将D5按第4行展开，得

D5=A41+A42+A43+2(A44+A45)=27……（1）

又将D5的第2行元素乘相应的第4行元素的代数余子式，得 2A41+2A42+2A43+(A44+A55)=0……（2）

联立（1），（2）得

2×(1)—（2）有 A44+A45=

54

=18， 3

27

= 9 3

2×(2)—（1）有 A41+A42+A43=

∴A41+A42+A43+A44+A45=18 9=9

【例15】设A为3×3矩阵，A= 2，把A按列分块为(A1,A2,A3)，其中Aj(j=1,2,3)是

A的第j列，则A3 2A1,3A2,A1= 。 【解】由行列式的性质知，

A3 2A2,3A2,A1=A3 3A2,A1+ 2A1,3A2,A1 = 3A1,A2,A3+0=( 3)( 2)=6

【例16】设n阶矩阵A=(α1,α2, ,αn)，B=(α1+α2,α2+α3, ,αn+α1)，其中

α1,α2, ,αn为n维列向量。已知行列式

【解】根据行列式的性质，得 B=α1+α2,α2+α3, ,αn+α1

A=a(a≠0)，求行列式B的值。

=1,α2+α3, ,αn+α1+2,α2+α3, ,αn+α1 =1,α2+α3, ,αn+2,α3, ,αn+α1