2015数学基础教程线代部分答案及详解(20)

0 2 2 ，

【解】 记A=22 2

2 22

22 λ 0 2 2 λ

22 2= 2 22λE A= λλ （对应元素相减）

2λ λ 2 2 22 2

两边取行列式，

2

λE A= 2λ 22

22λ 2

1行 2行×2

λ2

2行+3行

λ22

=

0λλ

22λ 2

把第2行的公因子λ提出来

=

21 λ01

22λ 2

λ2

=

01λ01

22λ 2

λ0

按第1行展开

=λ λ ( 1)

1+1

111+1

（其中( 1)指数中的1和1分别

2λ 2

是λ所在的行数和列数）

=λ2(λ 2 2)=λ2(λ 4)

令

λE A=0，解得λ1=λ2=0,λ3=4，

故λ=4是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是λ=0(二重)）

1c a

,其行列式A= 1,又A 的伴随矩阵A*有一个特征值

[例5.2] 设矩阵A=5b3

1 c0 a

λ0，

属于λ0的一个特征向量为α=( 1, 1,1),求a,b,c和λ0的值.

【解】根据题设A有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=( 1, 1,1),根据特征值和特征向量的概念，有 Aα=λ0α, 把A= 1代入AA=AE中，得

*

*

*

T

T

AA*=AE= E,

AA*α= Eα= α

把Aα=λ0α代入，于是

*