数值分析中对插值法的简单讲义

第二章 插值方法/* Interpolation */

2.1 引言

函数逼近

问题的引出：现实应用中常用函数y f x 表示某种内在规律的数量关系，但是情况往往是：

1）y f x 在某个区间[a,b]存在，有时候是连续的，但是只能通过实验或观测得到一系列点xi的函数值yi（得到函数表），而无法得到f x 的表达式

2）函数表达式已知，但计算复杂（如y sin x ，y lg x 等）使用不方便，通常也使用函数表。如：三角函数表，对数表，平方根表，立方根表等。

问题：有时需要求不在函数表上的函数值怎么办？ 解决方法：根据所给的

y f x 的函数表，构造一个简单的函数P x

近似替

代f x （存在误差！），称为函数逼近。

P x 通常选择一类比较简单的函数，称P x 为逼近函数，f x 为被逼近函数。

如代数多项式或分段代数多项式。

函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数，Fourier级数，有限元方法、边界元方法，小波分析等，大学科叫逼近论。

本课程讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法。 插值 （interpolation）

已知y f x ,x a,b 的函数表

数值分析中对插值法的简单讲义

求：P x 使

yi P xi

i 0,1, 2,n

, —— 插值问题

x1

xn

称P x 为f x 的插值函数；f x 为被插值函数；x0

a,b 为插值区间；求插值函数P x 的方法称为插值法。

为插值结点；

当P x 为多项式时，相应的插值法为多项式插值；P x 为分段的多项式，称

为分段插值；P x 为三角多项式，称为三角插值。

插值法的几何示意图，P14图2.1

多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数的近似函数值，零、极点，导数、积分（第四章 数值积分和数值微分），解微分方程（第五章）、积分方程等。

2.2 拉格朗日插值

2.2.1 插值多项式的存在唯一性

问题：用不同的多项式插值方法得到的插值多项式的形式有可能不同，它们是否等价？（可以转化为相同的标准式？）

答案是肯定的！

两点确定一条直线（ 一次多项式 ） 三点确定一个抛物线（ 二次多项式 ） 是否n+1点确定一个n次多项式？ 给定n+1个互异的插值点x0

超过n的插值多项式

P x a0 a1x a2x anx

2

n

x1

xn

，求符合插值条件yi

P xi

的次数不

——（标准式）