数值分析中对插值法的简单讲义

P x

存在且唯一！证明见P14，定理2.1。

可以通过求解方程组得到系数a0,a1,a2 an，从而得到P x 的表达式，但是这

样做不但计算复杂，且难以得到P x 的简单表达式。

当n=20时，在108次/秒的计算机上计算需要几十万年！ 2.2.2 线性插值与抛物插值 线性插值

当n=1时：

已知 xk, xk+1；yk, y k+1， 求线性插值多项式 L1(x) a0 a1x 使得：L1(xk) yk

且L1(xk 1) yk 1.

可见，L1(x)是过(xk,yk)和(xk 1,yk 1)的一条直线。

L1(x) yk

yk 1 ykxk 1 xk

yk

x xk 点斜式

x xkxk 1 xk

yk 1

L1(x)

xk 1 xxk 1 xk

两点式

令lk x

xk 1 xxk 1 xk

，lk 1 x

x xkxk 1 xk

则：L1(x) lk x yk lk 1 x yk 1

称lk x 及lk 1 x 为一次插值基函数，或线性插值基函数。 注意：基函数 li xj ij 抛物线插值

当n=2时：

L2(xk 1) yk 1，已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1， 求二次插值多项式 L2(x) 使得：L2(xk) yk，L2(xk 1) yk 1。

1 0

i ji j

可见，L2(x)是过(xk 1,yk 1)，(xk,yk)和(xk 1,yk 1)的抛物线。