数值分析中对插值法的简单讲义

因此：

li x

x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn

xi x0 xi x1 xi xi 1 xi xi 1 xi xn

这n+1个n次多项式l0 x ,l1 x ,ln x 为节点x0,x1, ,xn上的n次插值基函数。

n次插值多项式 Ln(x)

l x y称为拉格朗日插值多项式。

i

i

i 0

n

记： n 1 x x x0 x x1 x xn

1 xi x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn 则： n

n

于是：Ln(x)

x x x

yi

i 0

i

n 1

n 1 x

问题：如图2.1（P14），插值多项式在插值点上的误差为0，但是在其他位置上的估计误差是未知的。

如何估计出在其他点上的误差限？

1）如果f x 是n次多项式，则f x 和Ln(x)等价，误差为0； 2）如果f x 不是n次多项式，如何处理?

为了解决第2）种情况，我们引入差值余项的概念，估计出插值多项式估计误差的上界！

2.2.4 插值余项（ Remainder ）

在[a,b]上用Ln(x)近似f x ，其截断误差Rn x f x Ln(x)，称为插值多项式的余项或插值余项。

定理2.2：关于插值余项的估计（P18）

证明：插值多项式在n+1个插值点上的误差为0，因此