数值分析中对插值法的简单讲义

利用基函数法构造

1

li xj ij

0

i ji j

i , j = k-1, k, k+1

因此构造

lk 1 x

x xk x xk 1

x xx x k 1k k 1k 1

lk x

x xk 1 x xk 1

xk xk 1 xk xk 1 x xk 1 x xk

x xx x k 1k 1 k 1k

lk 1 x

此时：

L2(x) lk 1 x yk 1 lk x yk lk 1 x yk 1

称lk 1 x ，lk x 及lk 1 x 为二次插值基函数，或抛物插值基函数。 2.2.3 拉格朗日插值多项式

从n=1和n＝2的情形，可推广到n>1的情形： 只要构造n次插值的基函数满足：

1li xj ij

0

i ji j

n

i,j 0,1,2, ,n 注意：n＋1个节点

然后令n次插值多项式 Ln(x) 显然有Ln(xi) yi成立。

l x y

i

i

i 1

每个li x 0有n个根，分别为x0,x1, ,xi 1,xi 1, xn，因此第i个基函数li x 可以写成：

li x Ci x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn Ci x xj

j i

j 0

n

n

又： li xi 1，故：Ci

j ij 0

1

x

i

xj