数值分析中对插值法的简单讲义

k

事实上： f x0,x1, ,xk

k

x

i 0

k 1

i

f xi

其中： k 1 x x xi k 1 xi x x j i

i 0

k

j 0

j i

这个结论可以用数学归纳法证明，这个性质说明差商的值与节点的排列顺序无关，称为差商的对称性。即：

f x0,x1, ,xk f x1,x0,x2, ,xk f x1,x2, ,xk,x0

性质2：差商的另一种定义

由性质1和差商的定义可知（将x0和xk 1互换位置）

f x1, ,xk f x0,x1, ,xk 1

xk x0

f x0,x1, ,xk

性质3：差商与导数的关系

f x 在 a,b 上存在n阶导数，且节点x0,x1, ,xn a,b ，则n阶差商与

导数关系如下：

f

n

f x0,x1, ,xn

n!

,

a,b

这个公式可以直接用罗尔定理证明。类似2.2.4 插值余项，定理2.2，P18。 性质4：线性 ( P43 习题15 ) 若： f x af1 x bf2 x

那么： f x0, ,xk af1 x0, ,xk bf2 x0, ,xk 提示：用数学归纳法证明 性质4：