数值分析中对插值法的简单讲义

2.4 差商(divided difference ,亦称均差)与牛顿插值公式

2.4.1 差商及其性质

Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li x 都需重新算过。公式不具有继承性，不利于编程。

可以将Ln(x)改写成下面的形式：

Ln(x) a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x xn 1

希望每增加一个节点时，只附加一项上去即可。

a0,a1, ,an

为待定系数。

P22：关于a0,a1, ,an的递推公式，用解方程的方法计算复杂！ 如何计算a0,a1, ,an的值？我们先引入差商的概念 差商(亦称均差) /* divided difference */

f x0,xk

f xk f x0 xk x0

为函数f x 关于x0,xk的一阶差商。

一阶差商的几何意义：弦截线的斜率

f x0,x1,xk

f x0,xk f x0,x1

xk x1

为函数f x 关于x0,x1,xk的二阶差商。

一般地，称：

f x0,x1, ,xk

f x0,x1, ,xk 2,xk f x0,x1, ,xk 1

xk xk 1

为函数f x 关于

x0,x1, ,xk（k+1

个点）的k阶差商。

差商的基本性质

性质1：差商的对称性