备考2009高考数学高频易错题举例解析(4)

备考2009高考数学高频易错题举例解析

(2q 1)(q 1) 0,因为q 1，所以q 1 0,所以2q 1 0.解得 q

3333

42

.

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2 2x仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1，则它与抛物线的交点为 y kx 1

，消去y得(kx 1)2 2x 0.整理得 k2x2 (2k 2)x 1 0. 2

y 2x

直线与抛物线仅有一个交点， 0,解得k

12

. 所求直线为y

12x 1.

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以x 0,即y轴，它正好与抛物线

y

2

2x相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y 2x只有一个交点。 y kx 1

③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1(k 0),则 2，

y 2x

kx (2k 2)x 1 0.令 0,解得k = ,∴ 所求直线为y

2

2

2

12

12

x 1.

综上，满足条件的直线为：y 1,

x 0,y

12

x 1.

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性)

(A)

0 (B) 0或1

(C) 0或2

(D) 0或1或2

2、已知A = {x | x2 + tx + 1 = 0} ，若A∩R* = ，则实数t集合T = ___。 tt 2 (空集)