备考2009高考数学高频易错题举例解析(3)
时间：2026-01-19
备考2009高考数学高频易错题举例解析
是ab=
1ab
，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
1a
2
事实上，原式= a2+b2+
由ab≤(∴原式≥∴(a +
1a12
+
1b
2
+4=( a2+b2)+(1
1a
2
+
1b
2
)+4=[(a+b)2－2ab]+[(
1a
+
1b
)2－
2ab
]+4
= (1－2ab)(1+a b2
ab
22
)+4，
1
)2=
1
×17+4=
4252
得：1－2ab≥1－ (当且仅当a=b=
212
=
12
, 且
1ab
2
2
≥16，1+
1ab
2
2
≥17，
时，等号成立)，
)2 + (b +
25
)2 。
2b1
●不进行分类讨论，导致错误
【例4】(1)已知数列 an 的前n项和Sn 2n 1，求an.
错误解法 an Sn Sn 1 (2n 1) (2n 1 1) 2n 2n 1 2n 1. 错误分析 显然，当n 1时，a1 S1 3 21 1 1。 错误原因：没有注意公式an Sn Sn 1成立的条件是。
S1(n 1)
因此在运用an Sn Sn 1时，必须检验n 1时的情形。即：an 。
Sn(n 2,n N)
(2)实数a为何值时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y
2
12
12
x有两个公共点。
2222
错误解法 将圆x y 2ax a 1 0与抛物线 y
x联立，消去y，
得 x (2a
2
12
)x a 1 0(x 0). ①
2
0
171
. 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 2a 0 ， 解之得a 82
2 a 1 0.
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a 0时，圆与抛物线有两个公共点。
备考2009高考数学高频易错题举例解析
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。 0
当方程①有一正根、一负根时，得 2解之，得 1 a 1.
a 1 0.
因此，当a
178
或 1 a 1时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y2
2
12
x有两个公共点。
思考题：实数a为何值时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y
12
x，
(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。
●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列 an 的全n项和为Sn.若S3 S6 2S9，求数列的公比q.
a1(1 q)1 q
3
错误解法
S3 S6 2S9,
3
6
3
a1(1 q)1 q
6
2
a1(1 q)1 q
9
，
整理得q(2q q 1）＝0.
3
由q 0得方程2q q 1 0.
3
63
(2q 1)(q 1) 0, q
6
9
33
42
或q 1。
错误分析 在错解中，由
a1(1 q)1 q
6
3
a1(1 q)1 q
2
a1(1 q)1 q
，
整理得
q(2q q 1）＝0时，应有a1 0和q 1。
3
在等比数列中，a1 0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q 1的情况，再在q 1的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若q 1，则有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但a1 0，即得S3 S6 2S9,与题设矛盾，故q 1.
a1(1 q)1 q
3
又依题意 S3 S6 2S9
a1(1 q)1 q
6
2
a1(1 q)1 q
9
）＝0,即 q(2q q 1
363
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