备考2009高考数学高频易错题举例解析(2)

备考2009高考数学高频易错题举例解析

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： 2k, k 6,

( 1) ( 1)

2

2

2

2 1

2

2

2 1

( ) 2 2( ) 2 4(k

34)

2

494

.

有的学生一看到

494

，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性

的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根 、 ，∴ 4k 4(k 6) 0

2

k 2或k 3.

当k 3时，( 1)2 ( 1)2的最小值是8； 当k 2时，( 1)2 ( 1)2的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 y222

(2) 已知(x+2)+ =1, 求x+y的取值范围。

4

2

错解 由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+

22222

83

)+

2

283

，

82828

∴当x=－ 时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。

333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 y2y22

事实上，由于(x+2)+ =1 (x+2)=1－ ≤1 －3≤x≤－1，

44

2

从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1,

28

]。 3

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

11

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。

ab错解 (a+

1a

)2+(b+1a

2

1b

)2=a2+b2+1b

2

1a

2

+

1b

2

+4≥2ab+

2ab

+4≥4ab

1ab

+4=8,

∴(a+)+(b+)的最小值是8.

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分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

,第二次等号成立的条件