不完全信息时高考博弈分析

2）定理2的证明：

定理证明由以下几个步骤完成，在第一步，我们定义信念的集合D,并表明它是信念集合

ΔN中的开、稠密子集，并且它的补集的Lebesgue测度为0。在第二步，我们表明对于集合D中的任意信念μ，如果实话实说是序数贝叶斯激励相容的，需要满足一定的性质，我们

把这个性质记为性质T。 在第三步，我们表明“志愿优先”高考录取机制中性质T并不成立，来完成证明。

第一步：构造信念集合。

我们知道，所有可行的信念是独立的，也就是说，对所有的k=1,2,...,N，都存在概率分布μk:P→[0,1] ，满足下面的条件μ(P)=× 对任意的Q P

N

N

k=1

μk(Pk)。

，我们定义Q的概率μ(Q)=

N

∑

P∈Q

μ(P)。集合D定义为满足如下

性质的信念μ的集合： 对所有的Q,T P

，

[μ(Q)=μ(T)] [Q=T]。

首先我们表明D是Δ中的开集。对任意的μ∈C，我们定义

N

φ(μ)=

S,T P

minN

,S≠T

|μ(S) μ(T)|

N

∈Δ并且可以看到φ(μ)>0。因为φ是μ的连续函数，因而存在ε>0满足对所有的μ

)<ε（这里的距离d( , )为ΔN上的欧式距离） )>0。 ∈D。d(μ,μ，我们有φ(μ这意味着μ

因此， D是Δ中的开集。

接着我们说明Δ D的Lebesgue测度为0。一个事实就是Δ是N个单形的Cartesian乘积，每个单形m! 1维。另一方面，我们也有Δ D=

N

N

N

N

N

N

Q,T PN

U

{μ∈ΔN|μ(Q)=μ(T)}。

从而，Δ D是有限个与Δ相交的超平面的并集。这就意味着它是一个低维集合因而它的Lebesgue测度为0。

对任意的μ∈Δ，考虑以它为中心的一个半径为ε的开领域。因为它的领域的测度是严格正数而Δ D的测度为0，这个领域和集合D的必定有非空交集。这就表明集合D是

N

N

ΔN的稠密集合。

这样，我们就完成了第一步证明。

必然满足性质T。 第二步：我们证明如果在信念μ∈D下真实申报是序数贝叶斯激励相容的，为了完成第二步，我们证明下面的中间结果。对于μ∈Δ和任意的i∈S，μ i(P i)表示除

N