不完全信息时高考志愿博弈(15)
发布时间:2021-06-11
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不完全信息时高考博弈分析
2)定理2的证明:
定理证明由以下几个步骤完成,在第一步,我们定义信念的集合D,并表明它是信念集合
ΔN中的开、稠密子集,并且它的补集的Lebesgue测度为0。在第二步,我们表明对于集合D中的任意信念μ,如果实话实说是序数贝叶斯激励相容的,需要满足一定的性质,我们
把这个性质记为性质T。 在第三步,我们表明“志愿优先”高考录取机制中性质T并不成立,来完成证明。
第一步:构造信念集合。
我们知道,所有可行的信念是独立的,也就是说,对所有的k=1,2,...,N,都存在概率分布μk:P→[0,1] ,满足下面的条件μ(P)=× 对任意的Q P
N
N
k=1
μk(Pk)。
,我们定义Q的概率μ(Q)=
N
∑
P∈Q
μ(P)。集合D定义为满足如下
性质的信念μ的集合: 对所有的Q,T P
,
[μ(Q)=μ(T)] [Q=T]。
首先我们表明D是Δ中的开集。对任意的μ∈C,我们定义
N
φ(μ)=
S,T P
minN
,S≠T
|μ(S) μ(T)|
N
∈Δ并且可以看到φ(μ)>0。因为φ是μ的连续函数,因而存在ε>0满足对所有的μ
)<ε(这里的距离d( , )为ΔN上的欧式距离) )>0。 ∈D。d(μ,μ,我们有φ(μ这意味着μ
因此, D是Δ中的开集。
接着我们说明Δ D的Lebesgue测度为0。一个事实就是Δ是N个单形的Cartesian乘积,每个单形m! 1维。另一方面,我们也有Δ D=
N
N
N
N
N
N
Q,T PN
U
{μ∈ΔN|μ(Q)=μ(T)}。
从而,Δ D是有限个与Δ相交的超平面的并集。这就意味着它是一个低维集合因而它的Lebesgue测度为0。
对任意的μ∈Δ,考虑以它为中心的一个半径为ε的开领域。因为它的领域的测度是严格正数而Δ D的测度为0,这个领域和集合D的必定有非空交集。这就表明集合D是
N
N
ΔN的稠密集合。
这样,我们就完成了第一步证明。
必然满足性质T。 第二步:我们证明如果在信念μ∈D下真实申报是序数贝叶斯激励相容的,为了完成第二步,我们证明下面的中间结果。对于μ∈Δ和任意的i∈S,μ i(P i)表示除
N
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