高三数学试卷(文科)(19)

精品文档令G（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，

G'（x）=xe x﹣a﹣1，G''（x）=e x（x+1）＞0，

∴G'（x）在（0，1）单调递增，

∴G'（x）≥G'（0）=﹣a﹣1≥0，

∴G（x）在（0，1）单调递增，

∴G（x）≥G（0）=0，

∴（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0，

∴当a≤﹣1时，f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．

【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．

21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（1，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（x Q，y Q）（点Q异于点P），若0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；

（3）若以点P为圆心作n个圆P i（i=1，2，…，n），设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i（M i、N i皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．

【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x Q，由0＜x Q＜1，即可求得k的取值范围；

（3）由题意可知：故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即

可求得x i，x i′，根据直线的斜率公式，即可求得=，==…＝，则M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．

【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，

将P（1，）代入椭圆方程：，解得：b2=1，则a2=4，

∴椭圆的标准方程：；

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