高三数学试卷(文科)(18)

精品文档∴a n=2+2（n﹣1）=2n，b n=2n﹣1．

（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n?2n．

∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]=+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]．

∴n为偶数时，T n=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．

=2n﹣1+n．

n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．

=2n﹣2﹣n．

∴T n=．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题．

20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．

（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．

【分析】（1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；

（2）问题可转换为（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax＞0恒成立，构造函数G（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，通过二次求导，得出结论．

【解答】解：（1）g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，

g'（x）=xe x﹣a﹣1，g''（x）=e x（x+1）＞0，

∵f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，

∴g'（0）=﹣a﹣1＜0，g'（1）=e﹣a﹣1＞0，

∴﹣a＜a＜e﹣1；

（2）当a≤﹣1时，f（x）＜0，

∴（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax＞0恒成立，

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