高一数学总复习--《集合》(9)

数学的内参

3x2 11 2y

分析：由y 2得(3 y)x2 1 2y 这里y 3，否则7 0，所以x2 ，因函数定

3 yx 2

义域为R，有x2 0，解

1 2y 1

0得值域为 ,1 3 y 2

说明：用反表示的办法，把y f(x)表示成x g(y)或x2 g(y)或ax g(y)

(a 0且a 1)等形式，再由原函数定义域确定x,x2,ax的取值范围，并由此去限制g(y)

而获得值域的解决。

【例6】已知f(x) x2 2x 6( 1 x 5) 求值域

分析：本例是二次函数在闭区间上的值域问题，通过作函数y x2 2x 6夹在x 1和

x 5的两条直线内的一段图象，容易知道当x 1时，ymin 5，当x 5时ymax 21，

故值域为 5,21

说明：对闭区间上连续函数的值域问题，可由求函数的最值的办法求值域，尤其应当熟练

二次函数闭区间上的最值问题。

x2 x 1

【例7】求函数y 2的值域

2x 2x 3

分析：将函数改写成(2y 1)x2 (1 2y)x (3y 1) 0视此等式为关于x的方程，从 原函数定义域为R，断定此方程应有实根，若2y 1 0，则方程为

y

3

1 0矛盾，所以 2

131 31 ，且 (2y 1)2 4(2y 1)(3y 1) 0解得 y ，故值域是 , 。 2102 102

ax2 bx c2

m(y)x说明：关于y '2型函数的值域求法，可转化为视为参数的方程 yx''

ax bx c n(y)x t(y) 0* 有解（因函数定义域非空）讨论，值得强调的有两点：一是应分 m(y) 0与m(y) 0两种情况，仅由 0确定值域的做法，事实上是认定方程*为二次

方程，这是对方程*讨论的片面认识，从这个意义上讲通常此法称作“判别式法”有些不 妥，不如称为“方程法”贴切些，二是此法适用范围虽然很广，但注意定义域十分重要， 此类函数若限定在某区间上，或者是某几个区间上时，值域的确定便转化对方程*在区间 上有解的讨论——根的分布讨论（另一个重要话题），否则一味地运用“方程法”会扩大 函数本身的值域，请同学们试试例6便知。

【例8】求函数y 3x2 12x 184x x2 23的值域