19两根一个根大于m，另一个小于m，（m∈R）Δ>0

x1 m x2 m 0

20 ax+bx+c (a≠0)这个二次三项式是完全平方式 Δ＝0

21方程ax2+bx+c ＝0 (a≠0)（a、b、c都是有理数）的根为有理根，则Δ是一个完全 平方式。

22方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)的两根之差的绝对值为：x1 x2 23 Δ＝0,方程ax2+bx+c ＝0 (a≠0)有相等的两个实数根。 24 Δ< 0, 方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)无实数根.

25方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)一定有一根为“1”Δ≥0 26方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)的解为x

22

2

2

2

a

b b 4ac2a

ba

2

b

2

4ac 0

27方程ax2+bx+c ＝0 (a≠0)若Δ≥0则 x1 x2

x1 x2

ca

a

x1 x2

2

注：凡是题中出现了x1.x2< 0；或

ca

0；或a、c异号就能确保 ＝b 4ac>0

1[例题] m为何值时，方程3x2 10x m 0 ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根；④有一根为0；⑤两根同号；⑥有一个正根一个负根；⑦两根互为倒数。

2[例题]k为何值时关于x的方程x 4mx 4x 3m 2m 4k 0(m为有理数)的根为有理数。

3[例题]不论m为何值时 x 2 x 3 m 1都可以分解成二个一次因式的积

2

22

4[例题] 已知方程x 4x 2m 8 0 的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。

5[例题]已知方程ax+bx+c ＝0 (a≠0)的实数根为m、n求下列对称式子的值 ①

1m 1n

2

2

；②m2 n2；③

nm

mn

；④m3 n3；⑤ m n ；⑥m n。

2

22

6例题]已知实数a、b满足a 2 2a,b 2 2b且a b求

ba

ab

的值。

2

7例题已知p 2P 5 0. 5q 2q 1 0其中p、q为实数。求p

22

1q

2

的值。