8（m）.

（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

2222

则根据勾股定理，列方程7+(6+x)＝10，整理，得x+12x－15＝0， 解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去）， 所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理，列方程(8－x)+(6+1)＝100.整理，得x－16x+13＝0. 解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理，列方程 (8－x)+(6+x)＝10，整理，得2x－4x＝0， 解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.

所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.

说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

（4）、航海问题

例：如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝

12

2

2

2

2

2

2

2

A

图5

AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.

解这个方程，得x1＝200

－

3

≈118.4，x2＝

200+

3

（不合题意，舍去）.

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.

（5）、几何与图表信息

例：如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张

纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

（21为S2.

①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

①当n＝2时，S1＝－2+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110. 所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55. ②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝

12

2

×122，即n2－25n+84＝0，

图6

解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.

所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.

说明：求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方

程是否有实数根来加以判断.

（6）、探索存在问题 例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.

x 20 x

则根据题意，得 + ＝17，解得x1＝16，x2＝4，

4 4

2

2

当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，

答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由

y 20 y 22

题意得 + ＝12，整理，得y－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)＝－4

4 4

2

2

＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm.

说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b－4ac＝－16＜0即无解.

（7）、平分几何图形的周长与面积问题

例：如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E 在下底边BC

2

2

2