上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28. 过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K. 则可得，FG＝

12 x5

AD

×4，

25

245

所以S△BEF＝

12

BE·FG＝－x+

2

x（7≤x≤10）.

BG K EC

图7

（2）存在.由（1）得－

25

x2+

245

x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，

舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－

25

x+

2

165

x＝

283

，

整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

（8）、利用图形探索规律

例：在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

图8

（1）观察图形，请填写下列表格：

正方形边长 黑色小正方形个数

1

3

5

7

n（奇数）

正方形边长 黑色小正方形个数

2

4

6

8

n（偶数）