经典竞赛几何题(18)

∴∠B=∠BHF，

∴∠HFE=∠B=∠DEF．

即∠HFE=∠DEF．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半．

3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；

（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．

【分析】（1）可证明△ACF≌△CAE，再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA，从而得出OE=OF；

（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上，从而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能证明Rt△OFN≌Rt△OEM，则OE=OF成立．

【解答】证明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，

∴∠A=∠C=60°，

∵AECF分别平分∠A，∠C，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），

∴AE=CF，