经典竞赛几何题(18)
时间:2025-07-10
时间:2025-07-10
∴∠B=∠BHF,
∴∠HFE=∠B=∠DEF.
即∠HFE=∠DEF.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,平行四边形的判定,直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半.
3.在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的角平分线AE,CF相交于点O,(1)如图1,若AB=BC,求证:OE=OF;
(2)如图2,若AB≠BC,试判断线段OE与OF是否相等,并说明理由.
【分析】(1)可证明△ACF≌△CAE,再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA,从而得出OE=OF;
(2)过点O作OH⊥AC,OM⊥BC,ON⊥AB,垂足分别为H,M,N,连接OB.根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上,从而得出∠OBN=∠OBM=30°,由已知得出∠OEM=∠OFN,能证明Rt△OFN≌Rt△OEM,则OE=OF成立.
【解答】证明:(1)∵∠B=60°,AB=BC,
∴∠A=∠C=60°,
∵AECF分别平分∠A,∠C,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴OA=OC,△ACF≌△CAE(ASA),
∴AE=CF,