经典竞赛几何题(18)

时间:2025-07-10

∴∠B=∠BHF,

∴∠HFE=∠B=∠DEF.

即∠HFE=∠DEF.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理,平行四边形的判定,直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半.

3.在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的角平分线AE,CF相交于点O,(1)如图1,若AB=BC,求证:OE=OF;

(2)如图2,若AB≠BC,试判断线段OE与OF是否相等,并说明理由.

【分析】(1)可证明△ACF≌△CAE,再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA,从而得出OE=OF;

(2)过点O作OH⊥AC,OM⊥BC,ON⊥AB,垂足分别为H,M,N,连接OB.根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上,从而得出∠OBN=∠OBM=30°,由已知得出∠OEM=∠OFN,能证明Rt△OFN≌Rt△OEM,则OE=OF成立.

【解答】证明:(1)∵∠B=60°,AB=BC,

∴∠A=∠C=60°,

∵AECF分别平分∠A,∠C,

∴∠OAC=∠OCA=30°,

∴OA=OC,△ACF≌△CAE(ASA),

∴AE=CF,

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