经典竞赛几何题(17)

∴∠AFB=∠ADC．

又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，

∴∠ADC=∠EAF，

∴∠AFB=∠EAF，

∴BF∥AE，

又∵BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．

2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE．

【分析】EF为中位线，所以EF∥BC，又因为∠HFE和∠FHB，∠DEF和∠CDE 分别为一组平行线的对角，所以相等；转化成求证∠FHB=∠CDE．

【解答】证明：∵E，F分别为AC，AB的中点，

∴EF∥BC，

根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；

同理可证∠CDE=∠B，

∴∠DEF=∠B．

又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，

∴HF=BF，