数值分析李庆杨版习题及答案(8)

右＝ a

baba

b

[f (x) S (x)]2dx 2 S (x)[f (x) S (x)]dx

a

b

{[f (x) S (x)]2 2S (x)[f (x) S (x)]}dx (f (x)2 S (x)2)dx

＝左。

ii) 由于S(x)为三次函数，故S (x)为常数，又f(xi) S(xi)，则

xi 1

xi

[f (x) S (x)]dx 0

b

，所以

n

xi 1

i 0

xi

a

S (x)[f (x) S (x)]dx

S (x)[f (x) S (x)] S (x)[f (x) S (x)]dx

[S (x)(f (x) S (x)) S (x)(f (x) S (x))]dx

a

b

S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]。

第三章 函数逼近与计算习题参考答案

1. (a) 区间变换公式为

x' (b a)x a,x

n

x' a

b a，代入原公式可得新区间里的伯

kx akk

Bn(f,x) f((b a) a)Pk(),Pk(x) Cnx(1 x)n k

nb ak 0恩斯坦多项式为;

3，相应的麦克劳1313

P(x) x,P(x) x xR(x) 0.645964131

6，48林级数分别为部分和误差则为，

(b)

B1(f,x)

2

x,B3(f,x)

3x

(1

2x

)

2

2

2

(1

2x

)

8x3

R3(x)

1

5 0.07969263840，大于伯恩斯坦多项式的误差。

m m Pk(x)

k 0

k 0

nn

n

n

k

f()Pk(x) Bn(f,x) M Pk(x) Mnk 0，

2. m f(x) M，故

n

kkkn kk 1k 1

Bn(f,x) Cnx(1 x) x Cn(1 x)(n 1) (k 1) x 1x

k 0nk 1当f(x) x时，。

2(k1) x ,k ,18, sin4x 0 1g(x)83. ，对任意不超过6次的多项式，在时，

若有g(x) sin4x 1，则g(x)在 0,2 上至少有7个零点，这与g(x)不超过6次矛盾，所以g(x) sin4x 1，g(x) 0就是所求最佳一致逼近多项式。

(f,g) max(M c,m c),M maxf(x),m minf(x)g(x) ca x ba x b4. 设所求为，，

由47页定理4可知g(x)在 a,b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别

1

M c (m c),c(M m)

2为f(x)的最大值和最小值处，故由可以解得