数值分析李庆杨版习题及答案(3)

(x1 x0)21 11 8

1 1.06 10248 60180 .

2

5. 当

x x0

l2(x)

(x x0)(x x1)(x x3)

(x2 x0)(x2 x1)(x2 x3)

4 h3 时，取得最大值

10 7x0 x x327 .

k

f(x) x,(k 0,1, ,n)在x0,x1, ,xn处进行n次拉格朗日插值，则有 6. i) 对

max|l2(x)|

xk Pn(x) Rn(x)

由于f

(n 1)

lj(x)xkj

i 0

n

n

1

f(n 1)( )(x x0) (x xn)

(n 1)!

j

k(x)xkj x

. k

ii) 构造函数g(x) (x t),在x0,x1, ,xn处进行n次拉格朗日插值，有

Ln(x) (xj t)klj(x)

i 0

k

( ) 0，故有i 0

l

n

.

g(n 1)( )n

(x t) Ln(x) (x xj) (n 1)!j 0插值余项为 ，

(n 1)

( ) 0,(k 1,2, ,n).故有 由于 g

n

(x t) Ln(x) (xj t)klj(x).

k

i 0

令t x,即得

(x

i 0

n

j

t)klj(x) 0

.

7. 以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式

f(b) f(a)

L1(x) f(a) (x a)

b a，

1

f(x) L1(x) f ( )(x a)(x b), [a,b]

2据余项定理，，

由于f(a) f(b) 0,故

|f(x) L1(x)| |f(x)|

11

max|f (x)|max|(x a)(x b)| (b a)2max|f (x)|.

a x ba x b2a x b8

8. 截断误差

R2(x)

1

e(x x0)(x x1)(x x2), [ 4,4].6

x x1

hx x h,x x h,1213时取得最大值 其中 0 则

2

max|(x x0)(x x1)(x x2)| 3 h3 4 x 49 .