数值分析李庆杨版习题及答案(10)

可得出

, n n1n)

e

f(x Ln)x( ))e fn 1(

n

Tn 1(x)(n 1)!2(n 1)!2n

n

，

)

!

令

2

e 1

n

(n

14. 由

!，则待证不等式成立，得证。2(1

1级数项数节约，在 1 ,上有

1511651

(x )5M,)(x)T(x)5

38483840，16即1511651183321219931101

M5,3(x) (x) T4(x) T5(x) x x x

3848384016102412840961096

151165131

max (x) M5,3(x) 0.00756836

38483840164096其中误差限为 1 x 1。

115115

f(x) sinx x x3 x P5(x) x x3 x

61206120为f(x)的近似，15. ，取

1

maxf(x) P5(x) 0.000198413

7!误差限为 1 x 1，再对幂级数的项数进行节约就

可以得到原函数的3次逼近多项式

115383

M5,3(x) P5(x) T5(x) x3

1201632384，其误差限为

111

maxf(x) M5,3(x) 0.000719246 1 x 17!12016，即为所求

泰勒

a,a 上的奇函数时，设Fn(x)为原函数的最佳逼近多项式，则16. 当f(x)为

*

Fn*(x) f(x) En

* Fn*( x) f(x) Fn*( x) f( x) En F( x)n，对有，所

*

以 Fn( x)也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性， Fn*( x) Fn*(x)，即 Fn*( x)是奇函数。同理可证，当f(x)为 a,a 上的偶*Fn函数时，最佳逼近多项式(x)也是偶函数。

17.

2

ax b sinx dx

3

a

2

3

24

a

2

2

b

2

2

4

ab 2a 2b

a

4，为使均方误差最小，

,b

8 24

2

4

则有12

18. (a)

b 2 0,

b

2

4

a b 2 0

，

96 24

，解得

3

ba

2

。 ，c为常

，

(f,g) (g,f) f'(x)g'(x)dx

a(cf,g) c(f,g) c f'(x)g'(x)dx

b

a数，

(f,f) 0，但当f(x) c时，(f,f )

(f1 fg2, f)g 1(fg, 2)ff'x(g)

x(gxdx,1 )f

a

b

xgx'dx()'()

,0不满足定义，所以

'x(dx

不构成内积。（b）(f,g) (g,f)，(cf,g) c(f,g)，

(f1 f2,g) (f1,g) (f2,g)，(f,f) 0且当且仅当f(x) 0时(f,f) 0，满

a

(f,g )

b

足定义，所以(f,g)构成内积。