数值分析李庆杨版习题及答案(17)

h20.12

|R1| f ( ) 24(1 1.2) 5 1.55 10 3

33f (1.0)的误差 h20.12

|R2| f ( ) 24(1 1.2) 5 7.8 10 4

66f (1.1)的误差

4

f (1.2)的误差 |R3| 6.2 10。

五点公式：

1

[ 25f(1.0) 48f(1.1) 36f(1.2) 16f(1.3) 3f(1.4)] 0.2483

12 0.1 1

f (1.1) [ 3f(1.0) 10f(1.1) 18f(1.2) 6f(1.3) f(1.4)] 0.2163

12 0.1 1

f (1.2) [f(1.0) 8f(1.1) 8f(1.3) f(1.4)] 0.1883

12 0.1。

误差分别为 f (1.0) R1 1.7 10 3， R2 3.4 10 4， R3 4.7 10 4。

第五章 常微分方程数值解法习题参考答案

yn 1 yn h(axn b)

n(n 1)2n2

ahah nbh

22，误差，改进尤拉

1． 尤拉法表达式

hn22

yn 1 yn f(xn,yn) f(xn h,yn hf(xn,yn)) ah nbh

22法表达式，无误

差。

h2 h2 hn

yn 1 yn ( yn yn 1)yn 1 ynyn 1 ()

y(0) 122 h，2 h。4． ，即又由，则有

2

nh2 hn2h22 hh 22 hhn

2 h

limyn lim() lim(1 ) lime e xn

h 02 hh 0h 02 h当h 0时，h 0。

5． 取步长h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。

K fn th(fx f fy)n o(h)，K3 fn (1 t)h(fx f fy)n o(h)，7． K1 fn，2

则

h2h

yn hy'n y"n yn (fn th(fx f fy)n fn (1 t)h(fx f fy)n) o(h2)

22

h2h

hfn (fx f fy) (2fn h(fx f fy)n) o(h2) o(h2)

22

D f

K1 fn， x y8． (1)令，泰勒展开可得11

K2 fn hDfn h2D2fn o(h2)

318，2221 2

K3 f(xn h,yn hK2) fn h(D hDfn)fn h2D2fn o(h2)

3333 y9，

11

yn 1 yn hfn h2Dfn h3(D2f fyD)fn o(h3)

26同理有， 代入龙格-库塔

3

o(h)。(2) 类似(1)展开可得K1 fn，公式可得

11

K2 fn hDfn h2D2fn o(h2)

28，3331 9

K3 f(xn h,yn hK2) fn h(D hDfn)fn h2D2fn o(h2)

4442 y32，

同理有

yn 1 yn hfn

121

hDfn h3(D2f fyD)fn o(h3)26， 代入龙格-库塔

3

公式可得 o(h)。

h

yn 1 yn (2 yn 1 yn)

29． 二阶显式公式为，代入得y(1.0) 0.626，二阶隐式h

yn 1 yn (2 yn yn 1)

2公式为，代入得y(1.0) 0.633，真解为

y(1. 0)0。.6